Con que equivale a con el cual, con la cual; con qué se usa para preguntar; y conque tiene valor consecutivo, tal como indica el Diccionario panhispánico de dudas, equivale a así que.
+ Con que está constituido por a preposición con y el relativo que: «Esos son los chicos con que pretendo graduarme». En estos casos también se puede intercalar el artículo entre la preposición con y el relativo que: «Esos son los chicos con los que pretendo graduarme». Cuando se construye con la preposición con y la conjunción que, no se intercala ningún artículo: «Para realizar esa tarea basta con que el presidente de la junta lo apruebe».
+ La forma con qué está constituida por la preposición con y el interrogativo o exclamativo qué (que siempre es tónico y se acentúa ortográficamente). Puede aparecen tanto en oraciones interrogativas y exclamativas directas (cuando aparecen los signos ortográficos) como en oraciones interrogativas y exclamativas indirectas: «¿Con qué bolígrafo firmó el documento?» y «¡Con qué cuidado trataba los libros de su biblioteca!» o «No sé con qué bolígrafo firmó el documento» y «Admiraba con qué cuidado trataba los libros de su biblioteca».
+ Conque es una conjunción ilativa (que expresa la consecuencia lógica o natural de lo afirmado) y es palabra átona. Equivale a así que, por tanto, por consiguiente: «Ya solucionaron el problema administrativo; conque ahora todos lograran el ansiado aumento laboral».
La Academia dice:
En términos generales, la locución con que puede reemplazarse por con el cual, su femenino y plurales; con qué se utiliza en las preguntas y exclamaciones; y conque expresa consecuencia, y puede reemplazarse por así que.
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