Con que equivale a con el cual, con la cual; con qué se usa para preguntar; y conque tiene valor consecutivo, tal como indica el Diccionario panhispánico de dudas, equivale a así que.
Con que está constituido por la preposición con y el relativo que: “Esos son los chicos con que pretendo graduarme”. En estos casos también se puede intercalar el artículo entre la preposición con el relativo que: “Esos son los chicos con los que pretendo graduarme”.
Cuando se construye con la preposición con y la conjunción que, no se intercala ningún artículo: “Para realizar esa tarea basta con que el presidente de la junta lo apruebe”.
La forma con qué está constituida por la preposición con y el interrogativo o exclamativo qué (que siempre es tónico y se acentúa ortográficamente). Puede aparecen tanto en oraciones interrogativas y exclamativas directas (cuando aparecen los signos ortográficos) como en oraciones interrogativas y exclamativas indirectas: “¿Con qué bolígrafo firmó el documento?” y “¡Con qué cuidado trataba los libros de su biblioteca!” o “No sé con qué bolígrafo firmó el documento” y “Admiraba con qué cuidado trataba los libros de su biblioteca”.
Conque es una conjunción ilativa (que expresa la consecuencia lógica o natural de lo afirmado) y es palabra átona. Equivale a así que, por tanto, por consiguiente: “Ya solucionaron el problema administrativo; conque ahora todos lograrán el ansiado aumento laboral”.
La Academia dice:
En términos generales, la locución con que puede reemplazarse por con el cual, su femenino y plurales; con qué se utiliza en las preguntas y exclamaciones; y conque expresa consecuencia, y puede reemplazarse por así que. Haga sus consultas a la dirección de correo electrónico academia@aplengua.com.pa y siga nuestras cuentas de Twitter (@APLdice) e Instagram (LavozdelaAcademia).