Charlotte McDonald y Josh McMinn - BBC, Serie "More or Less"
Durante cientos de años, los matemáticos han puesto a prueba sus cerebros enfrentándose a endiablados problemas matemáticos que nadie ha logrado resolver.
Reflexionan sobre ellos, los debaten, publican artículos al respecto. Solucionarlos puede ser el trabajo de toda una vida.
Pero el 13 de abril de este año fue la inteligencia artificial (IA) la que resolvió un problema matemático que hasta entonces se había resistido a los simples mortales: el problema 1196 de Erdős.
Los expertos en la materia se sorprendieron y, por supuesto, se interesaron. Mucho.
"Después de quizás una hora de leer y revisar el resultado en bruto que había producido la IA, me quedó muy claro que era correcto y que la idea era muy buena", cuenta el matemático Jared Duker Lichtman, de la Universidad de Stanford.
Lichtman llevaba siete años trabajando en ese enigma que acababa de ser resuelto por un aficionado de las matemáticas que ingresó un solo prompt en una IA.
Pero ¿en qué consiste este problema y qué significa para las matemáticas que la IA lo resolviera?
Si crees que ya sabes adónde conduce esta historia, recuerda que en el mundo de las matemáticas las respuestas suelen ser sorprendentes.
Un genio itinerante
Los problemas matemáticos sin resolver tienen un cierto halo de misterio.
El que quizá hayas oído mencionar más a menudo es el último teorema de Fermat, que apareció en una nota manuscrita en el margen de una página de un libro escrito por el matemático del siglo XVII Pierre de Fermat.
Además del rompecabezas que dejó para la posteridad, escribió: "Tengo una solución, pero es demasiado larga para que quepa en el margen".
Hasta donde sabemos, se llevó esa solución a la tumba.
"Tuvieron que pasar varios cientos de años antes de que finalmente se resolviera, en 1994, y el matemático que lo logró utilizó ramas de las matemáticas que ni siquiera existían en tiempos de Fermat", señala la matemática Katie Steckles.
Y hay muchísimos más, con toda clase de nombres extraños. La conjetura de Collatz, la hipótesis de Riemann, los problemas de Hilbert y los problemas del milenio...
"¡Oh, hay montones!", exclama Steckles. "Y cada día encontramos más. Cada rama de las matemáticas tiene sus grandes preguntas".
Entre todos esos retos hay una enorme colección conocida como los problemas de Erdős, planteados por una de las mentes más prolíficas y afables de las matemáticas.
El húngaro Paul Erdős (1913-1996) fue un genio extraordinario, no solo por las cuantiosas huellas que dejó en las matemáticas, sino por su estilo de vida.
Nunca tuvo casa ni posesiones más allá de una maleta semivacía, pues lo que quizo ser fue un turista matemático, viajando a cualquier lugar del mundo en el que estuviera pasando algo interesante y hubiera espacio para pensar y compartir ideas.
Durante las décadas de peregrinaje matemático, no solo planteó más de 1.200 problemas, sino que también resolvió muchos de ellos y encontró demostraciones sorprendentemente sencillas para teoremas que ya se creían resueltos.
El problema
En 2023 esta cantidad extraordinaria de problemas fueron recopilados en una página web para que los matemáticos pudieran ver cuáles necesitaban resolver y compartir sus demostraciones.
"La primera vez que escuché hablar sobre la conjetura del conjunto primitivo de Erdős estaba en el último curso de la carrera", recuerda Lichtman.
"Y me enamoré completamente del problema".
Los problemas de Erdős que nos atañen en esta historia tienen que ver con conjuntos primitivos.
Probablemente conozcas los números primos, números enteros que solo se pueden dividir exactamente entre sí mismos y entre 1. Un conjunto primitivo se parece un poco a eso: se escogen números de manera que ninguno de ellos sea divisible exactamente por otro, aunque no tienen que ser necesariamente primos.
Por ejemplo, 4, 5 y 6 forman un conjunto primitivo: no puedes dividir 4 entre 5 o entre 6 y obtener un número entero. Y lo mismo ocurre con 5 y 6.
Y no hace falta que nos adentremos más en las matemáticas de estos problemas de Erdős: todo lo demás es demasiado complicado.
Así que volvamos a nuestra historia.
"En mi tiempo libre y por las noches, seguía pensando en este problema y no podía dejarlo. Y acabé resolviéndolo después de 4 años de negarme a desistir", cuenta Lichtman.
Lo que le había tomado todos esos años resolver fue el problema 164 de Erdős, que más tarde le serviría para su tesis doctoral.
Pero ese no era el único que le interesaba. Había un grupo de otros problemas de Erdős relacionados, entre ellos el problema 1196.
También había estado pensando en él durante todo ese tiempo.
"¿Qué ocurre si todos los números de un conjunto primitivo son mayores que X y queremos entender cómo puede crecer su puntuación a medida que X tiende a infinito?".
Y siguió pensando en ello y trabajando en el problema durante otros tres años.
Hasta que se despertó una mañana y encontró un correo electrónico en su computadora.
Decía que un matemático aficionado había planteado este problema a GPT-5.4 Pro, un modelo de inteligencia artificial, y había obtenido unos resultados que, según él, podían ser una solución.
"Empecé a leer lo que había producido. El resultado parecía muy preliminar y muy desestructurado", recuerda.
La demostración había sido obtenida por Liam Price, un británico de 23 años que no tenía un título universitario en matemáticas.
"Utilicé una IA de OpenAI para resolver el problema 1196 de Erdős", contaba.
"Se me ocurrió un prompt ingenioso, se lo di a la IA y, después de unos 80 minutos pensando, me dio una solución. Entonces se la pasé a otra versión del modelo y le dije: 'Aquí tienes la solución. ¿Puedes comprobarla y verificar que sea correcta?'. Y la respuesta fue que, en esencia, no había encontrado ningún error en el razonamiento", agregaba.
Lichtman estaba perplejo y feliz a la vez.
El saber
La IA ya había ayudado a resolver otros problemas de Erdős, de hecho, varias decenas. Pero muchos de ellos eran problemas relativamente sencillos y poco conocidos.
El problema 1196 era distinto. No solo llevaba décadas desafiando a los matemáticos, sino que GPT-5.4 Pro había encontrado una idea nueva para abordarlo, un método que parecía haber pasado por alto la literatura matemática durante décadas. Y aquel método no solo resolvió el 1196, sino también otras cuestiones relacionadas.
A Lichtman no le molestó que un modelo de IA llegara a la meta antes que él: "Si otro matemático resuelve un problema que te interesa, no creo que nadie te pregunte si te molesta", explica.
"Uno sencillamente quiere saber la respuesta y tener acceso a ella, independientemente de cómo se haya obtenido", agrega.
Además, la IA necesitó a alguien como Lichtman, que entendiera tan profundamente las matemáticas como para ver aquel resultado en bruto y darse cuenta de que allí había algo valioso.
"Inmediatamente me alegré mucho y, de hecho, empecé a trabajar en esos otros grupos de problemas para ver si podía aplicar esta idea", cuenta.
Pronto empezaron a aparecer otros avances. Pocas semanas después, un modelo de OpenAI refutó una conjetura de Erdős que llevaba casi 80 años sin resolverse.
Y el 1° de agosto, la compañía anunció otros diez avances en problemas matemáticos de larga data, desarrollados con participación de matemáticos humanos que ayudaron a analizar, desarrollar y formalizar los resultados.
"Creo que hemos llegado al punto en el que la IA puede aportar ideas e intuiciones, como lo haría un colega de confianza, y a veces esas ideas realmente van a dar fruto", señala Lichtman.
"Estamos en una etapa en la que la IA empieza a funcionar, en cierto modo, como una especie de colaborador con el que intercambiar ideas y recibir comentarios".
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